左右反転を除いた全解を以下に示します。
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２ ３ １ |
３ １ ２ |
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６ １ ４ ５ ３ ２ |
５ ２ ６ ３ ４ １ |
５ ６ ２ １ ４ ３ |
４ ６ １ ２ ５ ３ |
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６ １ 10 ８ ５ ９ ２ ４ ７ ３ |
６ 10 １ ８ ４ ９ ７ ５ ２ ３ |
９ 10 ３ ８ １ ７ ５ ６ ２ ４ |
９ ３ 10 ８ ６ ７ ２ １ ５ ４ |
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13 ３ 15 14 ６ 10 12 １ ８ ２ 11 ７ ９ ４ ５ |
参考までに Sicherman 自身による６段の不可解性の証明手順を載せておきます。
- 三角形の最上行の数値をそれぞれ a,b,c,d,e,f と呼ぶ。
- 2を法とする場合、第二行はそれぞれ a+b,b+c,c+d,d+e,e+f に等しい。
- 第三行は a+2b+c,b+2c+c, ... に等しい。以下同様。
- 三角形の全ての数値を足すと 6a+20b+34c+34d+20e+6f となり、これは偶数である。
しかし実際の数値 1〜21 を全て足すと奇数である。よって矛盾。